Partielle Integration

Den Term

\((1) \; f(x)=x*e^{2x} \)

kann man nicht einfach so integrieren, man braucht dafür die partielle Integration, weil links und rechts vom * etwas mit x steht.



Wenn man also zum Beispiel

\((1) \; f(x)=x*e^{2x} \)

integrieren möchte möchte, muss man die Formel für die partielle Integration benutzen. Die Formel davon lautet so:

\(F(x)=u*v-\int(u'*v)dx\)

Jetzt benennt man in der Funktion (\(f(x)=x*e^{2x} \)) die linke Seite vom * mit u und die andere mit v'



\(x\) ist u

und \(e^{2x}\) ist v'

Und dann fügt man sie in die Formel ein:



Warum ist das passiert?

Hier ist der Trick, mit dem alles Sinn macht:

\(x\) ist u

und \(e^{2x}\) ist v'. Nicht v! Sondern v' !



Daher müssen wir es, um v zu bekommen, integrieren.



Um also das normale \(v\) (ohne ') zu bekommen, müssen wir \(e^{2x}\) integrieren. \(e^{2x}\) integriert ist \(\frac{1}{2}e^{2x}\).

Das alles haben wir also in die partielle Integrationsformel eingesetzt:

\(F(x) = x* \frac{1}{2}e^{2x}-\int (1*\frac{1}{2}e^{2x})dx\)

Nun muss man es nur noch ausrechnen:

\(= x* \frac{1}{2}e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}\)
(das Integral hinter dem Minus wurde aufgelöst)

\(=e^{2x}*(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4})\)
(\(e^{2x}\) wurde faktorisiert.
Das ist das Endergebnis.)